Hallo und willkommen im Thunderbird-Forum, Chris!
Du kannst z.B. doch auch auf dem Desktop per IMAP abrufen und auf beiden Geräten in den Konten-Eistellungen bei Kopien & Ordner den Ordner auf dem Server angeben. Du kannst das sogar parallel zum POP abruf einrichten.
Alternativ, da das Verschieben in den serverseitigen Ordner nicht bei allen Providern gut klappt, kannst du dir Mails per BCC an dich selber mitschicken und dann im Posteingang per Filter in einen Gesendet Ordner schieben.
Vorteil: du hast gleich die Kontrolle, dass die Mail ordnungsgemäß raus ist.
Nachteil: höherer Traffic, aber ob du nun per IMAP auf den Server oder als BCC vom Server lädst, ist ja egal.