Ich hab das Problem gelöst!!!
Ich hatte im Add-On "WebMail - Hotmail" den Zugang auf "Windows Live Hotmail (Neue Website)" gestellt. Aber jetzt habe ich es wieder auf "WebDAV" zurückgestellt und alles funktioniert prima!
Nur schade, dass mir hier niemand helfen konnte und ich selber herumexperientieren musste.
Das Datum ist zwar falsch bei den umgeleiteten E-Mails, aber ich denk mal anders ist es nicht möglich. Der Rest im Header stimmt.