So, das Problem ist gefunden und gelöst. Laut Aussage des Administrators wurden am Mailserver wurden Wartungsarbeiten vorgenommen. Dabei ist irgendwas mit der Datenbank für die Indizierung "gelesen/ungelesen" schief gelaufen (oder so ähnlich, bin kein Netzwerk-/Mailserver-Profi). Nun geht es wieder.
Aber es lag definitiv nicht an TB oder der Konto-Einstellung.