Hi und danke für die Antworten.
Zunächst einmal: ich nutze deshalb nicht auf allen Rechnern IMAP weil der Speicherplatz bei meinem Provider dafür nicht ausreicht. Ich bewahre relativ viele alte Mails auf und da hat sich in 17 Jahren Emailnutzung einiges angesammelt 
Ja, ich könnte ein Googlemailaccount aufmachen und meine Mails dorthin weiterleiten und je nach Quelle in Arbeit und Privat sortieren, aber eigentlich würde ich Arbeitsmails lieber nicht bei Google aufheben. Daher die Nutzung per POP und nur gelegentlich von unterwegs per IMAP reinschauen.
Zu euren Fragen: War offenbar in meiner Problembeschreibung zu ungenau...
Das offline-Lesen habe ich im IMAP-Laptop aktiviert.
Zumindest auf dem IMAP-Rechner habe ich lediglich diesen Account angelegt.
IMAP-Rechner: Mails tauchen nur einmal auf.
POP-Rechner: Mail werden abgerufen, logge ich mich danach per IMAP ein, so werden sie auf dem POP-Rechner ein weiteres Mal als neue Mails abgerufen. Logge ich mich hingegen zuerst per IMAP ein, ohne vorher per POP abgerufen zu haben, so tauchen sie auch im POP-Rechner nur einmal auf.
Wenn ich auf dem Webfrontend eingeloggt bin während ich per TB/IMAP abrufe, so bekomme ich dort anschließend die von TB abgerufenen Mails mit nem roten x als nicht mehr vorhanden angezeigt. Gleichzeitig tauchen diese Mails als neu angekommene Mails oben in der Liste wieder auf.
Soweit, ich hoffe, Ihr habt ne Idee. Ich bin auf jeden Fall mit meinem Latein am Ende :nixweiss:
Gruß
Stoerte*