Die Lösung, die tatsächlich alle Aktualisierungsprobleme beseitigt hat, war nun:
"Idle-Befehl verwenden, falls der Server ihn unterstützt" ABWÄHLEN (obwohl der Server dies unterstützt, unter Konteneinstellungen -> Server -> Erweitert)
(Maximale Serververbindungen zurückgestellt auf 5)
"einmal die Minute auf neue Mails prüfen" eingestellt
Jetzt werden alle Konten wieder zuverlässig aktualisiert.