Mailkonten wurden bereits zweimal von einem Fachmann komplett neu installiert
Vielleicht solltest Du Dich mal an netcologne wenden ...
Bei IMAP erfolgt der Versand von E-Mails in 2 Phasen:
Phase 1 - Übertragung der E-Mail an den SMTP-Server zum Versand an den Empfänger.
Phase 2 - Übertragung einer Kopie der gesendeten E-Mail an den IMAP-Server und Ablage im Ordner "Gesendet" (SENT).
Normalerweise geht das sehr schnell. Bei E-Mails mit sehr großen Anhängen kann man da auch mal zugucken ...
Bei Euch scheint es in Phase 2 zu hapern. Wenn Thunderbird bei Phase 2 ein Problem feststellt, kommt normalerweise eine Fehlermeldung (ungefähr "... konnte nicht in den Ordner "Gesendet" kopiert werden ...") mit mindestens 2 Antwortoptionen (Nochmal versuchen oder Abbruch). Wenn bei Euch keine Fehlermeldung von Thunderbird kommt, würde ich das Problem eher beim Provider (netcologne) vermuten.