Hallo autosklave,
und willkommen im Forum!
Zuerst einmal solltest du per Webmail bei deinem bisherigen Provider nachsehen, was da noch an Mails vorhanden ist. Mitunter ist da doch noch alles da ... . (Frage 1)
Dann ist von großer Wichtigkeit zu wissen, in welcher "Betriebsart" (POP3 oder IMAP) du das Konto im Thunderbird eingerichtet hast. Kennst du nicht? => unsere Anleitung lesen, dort steht sogar der Unterschied zwischen beiden beschrieben. (Frage 2)
Aus deiner Bemerkung "...(nur) des Posteingangsordners" entnehme ich aber, dass du höchstwahrscheinlich das alte POP3 genutzt hast. Damit kannst du wirklich nur die "INBOX", also den Posteingang abholen. Nur das moderne IMAP zeigt die komplette Ordnerstruktur auf dem Server auch auf dem Client an.
Wo die eventuell heruntergeladenen Mails sind, kannst du nur herausfinden, indem du dir die entsprechenden mbox-Dateien mit einem Texteditor ansiehst. Auch hier kommst du nicht um ein Lesen unserer Anleitung herum. Dort ist beschrieben, wo du dein TB-Userprofil findest, und was die bewussten mbox-Dateien sind.
Also bitte die beiden Fragen beantworten, die Anleitung lesen und wieder melden.
MfG Peter