Du musst primär dafür sorgen, dass alle Clients die selben Ordner für bestimmte Dinge verwenden. Auf dem iPhone kannst Du das kaum verändern - es wird zwangsweise bestimmte Ordner für "Gesendet" & Co. im IMAP-Konto anlegen. Somit muss Du dann in Thunderbird schauen, dass alle Ordner abonniert sind. Wenn das der Fall ist, musst du die passenden Ordner in den Konten-Einstellungen zuweisen: E-Mail-Konto (IMAP) einrichten
Wenn Dir dann tatsächlich noch Mails fehlen, hast Du vielleicht doch nicht alle aus dem alten POP-Konto zurück auf den E-Mail-Server verschoben/kopiert. Dann können die im IMAP-Konto auch nicht angezeigt werden.