Hallo Sandra
und willkommen im Thunderbird-Forum!
Es ist so, wie es Rothaut sagt, bei IMAP bleiben die Mails auf dem Server und das ist für euch wahrscheinlich die sinnvollere Variante.
Ihr habt vermutlich per POP abgerufen, da sollte man dann davor in TB in Extras>Konten>Server-Einstellungen den Haken setzen bei "Nachrichten auf dem Server belassen". Was steht denn in den Einstellungen oben bei Server-Typ?
Die Mails kannst du nun wieder auf den Server schieben, indem du entweder die 1&1 Konten im Thunderbird neu als IMAP Konto anlegst und dann die Mails aus dem POP-Konten-Ordner in den IMAP-Ordner kopierst oder, aber umständlicher, mit dem Add-on MailRedirect
(Runterladen, dann in TB Extras>Add-ons>Installieren)