Hallo Thunni,
willkommen im Thunderbird-Forum.
Das von Dir beschriebene Verhalten ist ganz normal.
Bei IMAP liegen die E-Mails (egal ob gesendete oder empfangene E-Mails) auf dem jeweiligen Mail-Server.
Das Mail-Programm (in diesem Falle Thunderbird) funktioniert bei IMAP quasi wie eine Fernbedienung. Die Mails werden bei Aktivierung von Thunderbird geladen und stehen damit während der Arbeit mit dem Donnervogel zur Verfügung. Sie werden also temporär zur Verfügung gestellt. Sie bleiben aber auf dem betreffenden Server.
Löscht man nun im Thunderbird eine Mail, wird diese zeitgleich auf dem Mail-Server gelöscht. Löscht man via Internet-Zugang/WEB-Mail eine E-Mail, dann ist diese auch gelöscht und kann bei einem nächsten Start von Thunderbird auch nicht mehr temporär heruntergeladen werden.
Lektüre-Empfehlung: Wann IMAP statt POP nutzen?.
Du kannst folgendes machen:
Du kopierst mit Thunderbird die E-Mails von Deinem GMX-Konto (IMAP) in Lokale Ordner. Dafür gibt es sogar eine Erweiterung (Add-on), die Dir diese Arbeit abnimmt: Copy Folder. Wie Du Erweiterungen installierst kannst Du hier nachlesen.
Anschließend (nach erfolgreichem Kopiervorgang) kannst Du entweder über Thunderbird (Stichwort "Fernbedienung") oder direkt in GMX die E-Mails löschen.
Für die Zukunft kannst Du Dir in Thunderbird Filter erstellen, die dafür sorgen, dass eingehende E-Mails automatisch nach Lokale Ordner kopiert werden.
Gruß
Feuerdrache