Hallo,
vermutlich nutzt du den Zugriff per IMAP.
Dabei bleiben die Mails auf dem Server und der Client (hier Thunderbird) holt sich beim Start den jeweils neuesten Stand vom Server und zeigt ihn dir an.
Um Platz auf dem Server zu schaffen, die Mails aber zumindest im Thunderbird zu behalten, würde ich in dem speziellen Thunderbird-Konto namen "Lokale Ordner" eine (kleine) Ordnerstruktur nach deinen Bedürfnissen anlegen.
(Da es hin und wieder Probleme beim Umbenennen solcher Ordner gibt, lieber nicht zu hastig irgendwelche Ordner erzeugen, sondern schon von Anfang an sinnvolle Namen und eine sinnvolle Strukt auch von Unterordnern anfangen - da man das später ggf. weiter verfeinern kann, muss es anfangs keinesfalls perfekt sein)
In diese neuen Ordner kopierst du nach und nach deine E-Mails aus dem Postfach (nicht verschieben!). Mache zwischendurch immer mal Stichproben, ob alles vollständig kopiert wurde, bevor du dann auf dem Server die zuvor kopierten Mails nach und nach löschst.
Schau bitte dabei auch imemr wieder mal in den Ordner "Papierkorb" rein: dort landen gelöschte Mails normalerweise zuerst, und du könntest versehentlich gelöschte Objekte wieder zurückholen aus dem Papierkorb. Da dieser Papierkorb im Postfach selbst liegt, wird dessen Volumen nicht kleiner, wenn du "nur" löscht (und damit eigentlich, quasi im Hintergrund, beim Löschen die Mails aus z.B. dem Posteingang in den Papierkorb verschiebst.)
Wenn deine zuvor schon erwähnten Stichproben nach dem Kopieren keine Verluste zeigen, bitte auch ab und zu mal diesen Ordner "Papierkorb" leeren.
Das wäre ganz grob ein Handlungsvorschlag. Nicht alles auf einmal, nicht überstürzen, Hektik sorgt nur für Verluste.
Ein paar Feinheiten fehlen, aber hier kommen sicherlich bald weitere Antworten.
MfG
Drachen
PS: klitzekleine Bitte: Bitte nicht nach jedem Satz zusätzlich zum Zeilenumbruch auch noch eine Leerzeile einfügen, man scrollt sich sonst geradezu müde beim Blättern und Lesen