Hallo Flo,
vermutlich hattest bei deinem alten Anbieter (?) das Mailkonto mit der Abrufmethode POP3 eingerichtet samt der Option, die Mails beim Abruf nicht (gleich) vom Server zu löschen. Das neue Konto hingegen läuft mit IMAP, wie du oben geschrieben hast. Über die Unterschiede kannst du dich hier im Lexikon belesen oder bei einer anderen Quelle im Internet, du wirst viele Artikel dazu finden.
Irgendwie scheinen die beiden Geräte miteinander zu kommunizieren und sich zu synchronisieren
Fast richtig.
Mit IMAP bleiben die Mails standardmäßig (nur) auf dem Server deines Mailproviders (GMX) liegen und die Mailclients (hier Thunderbird) kannst du als eine Art Fernbedienung verstehen: Du verschiebst oder löscht nicht lokal, sondern gibst sozusagen den Auftrag zu dieser Aktion an den Server - der Client bildet das dann nur ab.
Und wie du gemerkt hast, macht das jeder IMAP-Client so, egal ob Thunderbird auf dem PC oder deine Mail-App auf dem Smartphone.
Direkt miteinander reden die Geräte dabei aber nicht.
Mein Wunsch: Mails über Thunderbird auf den Rechner laden und dann auf dem Handy entfernen, ohne dass sie von PC verschwinden.
Was kann ich tun?
Du kannst diese Mails, die du aufheben willst, auf deinem PC in/mit Thunderbird entweder manuell oder per Filter in die sog. "Lokalen Ordner" kopieren. Diese werden mit keinem Server synchronisiert und die dortigen Kopien folglich nicht von jeglichen Aktionen auf dem Server beeinflusst.
Lies dich erstmal ein, dann überlege, ob du in den Lokalen Ordnern noch Unterordner anlegen willst, um deine Ablage zu strukturieren, dann kannst du erstmal manuell Mails kopieren.
Wenn alles zufriedenstellend läuft und du dich an den Ablauf gewöhnt hast, kannst du je nach Menge der zu kopierenden mails über Filter nachdenken.
Nur Mut, das ist keine Raketenwissenschaft
Abschließend noch eine kleine Bitte meinerseits:
habe die aktuellste Version runtergeladen.
Das ist leider völlig nichts-sagend. Einerseits gibt es von Software oftmals mehrere aktuellste Versionen, nämlich aus mehreren parallel gepflegten Entwicklungszweigen, andererseits sagt die Formulierung nichts darüber aus, wo du diese Version heruntergeladen hast und welche Version diese Quelle als aktuellste angibt
Viel Erfolg
Drachen