Hallo,
Das hier : "bei POP-konten werden gesendete Mails also nur lokal gespeichert.", stimmt zwar, hat aber mit der Sache nichts zu tun.
Einspruch! Es hat sogar ganz elementar mit der Sache zu tun, solange du nicht ganz sauber trennst und beschreibst, welches von beiden du mit dem konkreten Thunderbird auf deinem Laptop oder PC und dem konkreten Konto du verwendest.
Der von dir erwähnte "Abgleich" kann überhaupt nur funktionieren, wenn du das jeweilige Konto deiner "Imap und POP Accounts" per IMAP abrufst.
Außerdem gehst du nicht näher darauf ein, was genau nicht funktioniert. Siehst du auf dem Thunderbird den "gesendet"-Ordner überhaupt noch, d.h. ist er - im Fall von IMAP - überhaupt noch abonniert?
Es ist auch nicht abwegig, dass du das Konto zweimal eingerichtet hast, je einmal als POP- und als IMAP-Konto, und dass du nur im falschen nachgesehen hast, oder dass das Konto zwichendurch mal zerschossen war und du es flink neu eingerichtet hast (diesmal versehentlich als POP statt IMAP) und dies bereits verdrängt und daher nicht erwähnt hast ..... alles schon vorgekommen hier und beileibe nicht nur einmal.
Ebenfalls mehrfach kam es vor, dass beim Abonnieren sowohl "gesendet" als auch "sent" und ggf. weitere Bezeichnungen angeboten werden und man einfach die falsche davon erwischt, also einen anderen Ordner abonniert hat als den, wo GMX übers Web-Interface die gesendeten Mails ablegt.
So oder so hast du bisher kaum relevante Infos geliefert, um dir wirklich helfen zu können, auch auf konkrete Nachfragen nicht.
MfG
Drachen