aus dem Posteingang und taucht nicht im Papierkorb von Gmail auf. So weit, so kompliziert.
Das ist ganz einfach erklärbar, TB und Gmail verschieben beim Löschen sehr wahrscheinlich nicht in den gleichen Ordner. Das ist sicherlich ein Teil des Problems.
Bitte stell doch mal einen anonymisierten Screenshot wie in #9 hier ein. GMX.de -> Einstellungen -> Ordnerübersicht: