Sorry für die Mühe, aber ich habe gerade den Fehler herausgefunden, dank eines anderen Beitrages hier im Forum (wenn auch sehr versteckt, diesem Thread hier
Und zwar geht es um die Checkbox in den GMX-Einstellungen, dass den Zugriff auf POP3/IMAP erlaubt (also online im Browser in der Webmail-Oberfläche).
WARUM AUCH IMMER war das in einem der beiden Konten deaktiviert! 
Fragt mich nicht. 
Thema kann wieder geschlossen werden, vielleicht hilft es dem einen oder anderen weiter...
Guten Morgen,
Seit geraumer Zeit ruft wohl mein TB die Mails eines GMX-Kontos nicht mehr per POP3 ab, und ich kann auch nicht mehr Senden. Das betrifft kurioserweise nur eines der beiden GMX-Konten. Ich erkenne keinen Unterschied in den Einstellungen zwischen den beiden GMX-Konten, trotzdem macht der eine das Problem, der andere nicht. Ich habe es leider erst sehr spät bemerkt, weil ich eigentlich fast nur noch per Mobiltelefon abrufe und dort funktioniert alles.
Es erscheint beim erstmaligen Öffnen des Programms beim Abruf der Mails die Statuszeile "Host kontaktiert, Zugangsdaten werden gesendet..." ... das erinnert an das Problem bei STRATO, was ja wohl durch die Änderung der Authentifizierungsmethode von "Verschlüsseltes Passwort" zu "Passwort, normal" gelöst werden konnte.
Dieser Ansatz ist bei mir aber nicht anwendbar, da die Einstellung bereits auf "Passwort, normal" steht.
Beim Senden einer Testnachricht kommt die Meldung: "Anmeldung auf dem Server mail.gmx.net mit Benutzernamen "******@gmx.de" fehlgeschlagen" - hier hätte ich auch neben Wiederholen und Abbrechen die Möglichkeit, ein neues Passwort anzugeben, das PW stimmt aber definitiv.
Nach etwa einer Minute kommt dann die Meldung "Senden der Nachricht fehlgeschlagen.
Die Nachricht konnte nicht gesendet werden, weil die Verbindung mit dem SMTP-Server mail.gmx.net ihre Ablaufzeit (Timeout) überschritten hat. Versuchen Sie es nochmals."
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