Wenn Du E-Mails über das Webinterface bei GMX schreibst und versendest, können diese nicht per POP in Thunderbird übertragen werden. Das Protokoll "POP" ruft nur die E-Mails im Posteingang ab. Das heißt weder der Postausgang bzw. "Gesendet", noch andere Ordner wie "Spam" oder "Virenverdacht" werden von Thunderbird abgerufen.
Wenn Du die Mails aus dem Ordner "Gesendet" von GMX auch in Thunderbird haben möchtest, dann musst Du das Postfach innerhalb Thunderbirds quasi neu als IMAP-Konto einrichten. IMAP ist genau dafür da. Bevor Du dies in die Tat umsetzen willst, halte kurz inne und sei Dir bewusst, dass Du innerhalb von Thunderbird auf die dort gespeicherten Mails "aufpassen" musst, damit diese nicht beim umstellen von POP auf IMAP verloren gehen.