1.) Der Themenstarter kann durchaus mit dem "Pushen" Recht haben, wenn Thunderbird die IMAP-Verbindung zu den jeweiligen IMAP-Servern der Anbieter aufgebaut hat. Dafür gibt es die "Idle"-Einstellung in den erweiterten Server-Einstellungen bei den IMAP-Konten. Meines Erachtens muss dafür aber Thunderbird überhaupt erst die Verbindung aufbauen - und das geht genau mit dem Abrufen der Postfächer. Deshalb muss meinem Verständnis nach zumindest beim Programmstart oder in einem bestimmten Intervall das Postfach abgefragt werden - sonst wird erst gar keine Idle-Verbindung aufgebaut.
2.) Es gibt leider einige Fallstricke bei dem Procedere. In den Einstellungen / Konten-Einstellungen / Ordner-Eigenschaften in Thunderbird sind nämlich relevante Optionen dazu verteilt. Schau Dir also auf jeden Fall die Ordner-Eigenschaften der gewünschten Ordner an, wo man festlegen kann, dass diese mit abgerufen (und auch nur dann die Idle-Verbindungen aufgebaut) werden sollen. In den erweiterten Server-Einstellungen der Konten findet man für das Idle-Kommando dann noch eine Option, die die Anzahl der parallelen Idle-Verbindungen (für jeden Ordner eine separate Verbindung!) begrenzt.
Siehe unter anderem hier:
https://www.thunderbird-mail.de/lexicon/entry/…ngen-des-Kontos