Danke an alle Ratgeber, jeder hat wohl "ein bischen recht" !
Persönlich habe ich eine ganz andere Erfahrung gemacht, und so läuft es heute noch:
Meine beiden Email-Konten (2 verschiedene Provider) sind auf POP3 eingestellt. Abruf erfolgt ohne eine besondere Einstellung sowohl von TB als auch vom Smartie (Samsung), jeweils parallel. Letzeres piept immer zuerst, kurz danach meldet TB einen Eingang.
Ich arbeite hauptsächlich mit einem modernen Desktop (Intel Skylake). Daneben gehe ich von Zeit zu Zeit mit einem Laptop, vorwiegend auf Reisen/im Urlaub, ins Netz. Wenn ich dort die Mails mit TB abrufe, werden rückwirkend noch alle Eingänge heruntergeladen, die ich nicht explizit sporadisch via Webmail gelöscht habe.
Demzufolge werden also abgerufene Mails nicht automatisch vom Server gelöscht, zumal ich ich in den TB-Einstellungen die Option '"Mails auf dem Server belassen" angehakt habe.
Ganz unabhängig hiervon beschäftige ich mich aktuell mit IMAP, das doch eine Menge Vorteile hat. Leider macht einer der beiden Anbieter nur gg. Entgelt mit.