Hallo gonis4,
wenn Du sowohl unter Linux als auch unter Windows Dein Mail-Konto (Deine Mail-Konten) per POP3-Protokoll (richtig angewendet) abholst, dann ist das beschriebene Verhalten völlig normal. Einmal unter Linux abgeholt, können die Mails nicht noch einmal unter Windows abgeholt werden.
Man kann zwar dieses Protokoll mit Einstellungen in Thunderbird verbiegen (Mails trotz Abholung auf dem Mailserver belassen), aber ein Provider muss sich daran nicht halten.
Zur Lektüre: FAQ: Wann IMAP statt POP nutzen.
Gruß
Feuerdrache