Hallo thunderbird_007,
so ist IMAP nicht gedacht und funktioniert deshalb analog POP3 nicht.
Bei IMAP liegen die E-Mails (egal ob gesendete oder empfangene E-Mails) auf dem jeweiligen Mail-Server des jeweiligen Providers (GMX, WEB.DE, T-Online oder wer auch immer). Folglich hat jedes Konto seinen eigenen Posteingang.
Das Mail-Programm (in diesem Falle Thunderbird) funktioniert bei IMAP quasi wie eine Fernbedienung. Die Mails werden bei Aktivierung von Thunderbird geladen und stehen damit während der Arbeit mit dem Donnervogel zur Verfügung. Sie werden also temporär zur Verfügung gestellt. Sie bleiben aber auf dem betreffenden Server.
Löscht man nun im Thunderbird eine Mail, wird diese zeitgleich auf dem Mail-Server gelöscht. Löscht man via Internet-Zugang/WEB-Mail eine E-Mail, dann ist diese auch gelöscht und kann bei einem nächsten Start von Thunderbird auch nicht mehr temporär heruntergeladen werden.
Du kannst aber Deinen Wunsch indirekt trotzdem erfüllen, indem Du die Filterfunktion des Thunderbird nutzt.
Du erzeugst in jedem Konto entsprechende Filter, die dann eingegangene E-Mails direkt in einen von Dir definierten eigenen Ordner oder den Posteingang im Lokalen Ordner verschieben. Dann sind sie allerdings auf dem jeweiligen Mailserver Deines IMAP-Kontos weg (Funktionsweise von IMAP).
Besser wäre deshalb ein per Filter gesteuertes Kopieren statt Verschieben.
Gruß
Feuerdrache