Was passiert, wenn ich Thunderbird einfach noch einmal installiere?
Das Programm Thunderbird zu deinstallieren und neu zu installieren hilft nur in ganz seltenen Fällen, schaden kann es in keinem Falle.
Vielleicht ist es einen Versuch wert.
Muss ich die Dateien mit den Mails (welche) vorher sichern?
Deine Thunderbird Daten sind in einem anderen Verzeichnis gespeichert als das Programm Thunderbird selber.
Und zwar im sogenannten Profilordner: wie du ihn findest, wird hier beschrieben Profilordner - Wo ist er zu finden?.
Eine Neuinstallation des Programms ändert also nichts an deinen Daten.
Angesichts deiner Probleme - und auch grundsätzlich - ist es sicher keine schlechte Idee, sofort ein Backup des Profilordners zu erstellen.