Und ja, ich nutze das Konto auch über das iPad und gelegentlich über das iPhone.
Ich hatte ein ähnliches Problem mit der App "Mail" auf dem iPhone und Thunderbird auf meinem Mac.
Die gesendeten und gelöschten Mails wollten partout nicht in die selben entsprechenden Ordner auf beiden Geräten.
Sprich: die Mails, die ich vom iPhone aus gesendet oder gelöscht habe, waren nicht im Gesendet bzw Papierkorb Ordner von TB zu sehen und umgekehrt. Man kann per R-Klick > Abonnieren die Ordnerliste des IMAP-Kontos aufrufen und einen anderen Ordner für die gesendeten Mails testen:
In meinem Beispiel stehen OUTBOX, Sent und Sent Messages für die versendeten Mails zur Verfügung, Deleted Messages, TRASH und Trash für die gelöschten. Ich habe im iPhone in "Mail" nachgeschaut, welcher Ordner für gesendete Nachrichten gewählt war und habe dann in TB den entsprechenden Ordner in der Ordnerliste gewählt. Es kann ein trial & error werden bis es hinhaut ....