Ohne Zusatzsoftware:
Einen der beiden Rechner zum "Hauptrechner" erklären. Dort in den Konteneinstellungen unter Server-Einstellungen die Option Nachrichten auf dem Server belassen deaktivieren. Auf dem anderen Rechner die obige Option aktivieren.
Damit verwaltest du die Mail auf dem Hauptrechner, kannst aber auf dem anderen Rechner immer die neu eingegangenen Mails lesen. Verwalten (speichern) brauchst du sie dort nicht.
Oder du folgst der Anleitung in diesem Beitrag.
Alternativ wechselst du zu IMAP (siehe POP-Konto später in IMAP-Konto ändern) und verwaltest die Mails auf dem T-Online-Server. Dann siehst du immer auf beiden Rechnern das Gleiche. T-Online hat sowieso alle deine Mails.
Eine dritte Möglichkeit wäre Thunderbird portable zu verwenden, Dann trägst du dein Profil inklusive Thunderbird immer mit dir herum.
Mit Zusatzsoftware:
Deine Dropbox-Idee ist schon gut. Du müsstest den gesamten Profilordner zu Dropbox hochladen und auf dem anderen Rechner wieder herunterladen. Das heißt, immer wenn du deinen Wohnsitz wechselst, musst du vorher Thunderbird beenden und den Upload vornehmen.
Am anderen Wohnort lädst du dann wieder herunter und startest danach Thunderbird.
Ich würde aber die Daten des Profils verschlüsseln, damit sich Dropbox nicht über deinen gesamten Mailverlauf, inklusive aller Adressen, freut,
Vielleicht findet sich eine Möglichkeit, dass du an einem der Wohnorte einen kleinen Linux-Server (Raspberry Pi, Banana Pi oder vergleichbares) aufsetzt und mit dem die Daten austauschst, Dann gibst du sie nicht in fremde Hände. Du bräuchtest auch keine große Software, wie NextCloud oder ähnlichem. SSH reicht völlig aus. Unter Windows verwendest du WinSCP.