Google und soweit ich weiß auch Outlook tun gesendete Mails schon von sich aus in den Gesendet Ordner.
Mein Google nicht und ich halte das auch nicht für die Standardeinstellungen.
Anders rum Standarteinstellungen bei vielen Mailprogrammen ist das Speichern im gesendet Ordner, ohne das der Provider das selbstständig noch mal macht.