Genau das funktioniert nicht.
Dann solltest Du doch mal Dein GMX-Passwort in Thunderbird speichern ... Die Passwörter im Passwort-Manager von Thunderbird werden (bei entsprechender Einstellung) durch Deinen Windows-Benutzernamen und Dein Windows-Kennwort geschützt (Windows-Sicherheit).
Mein Computer wird zu Feierabend heruntergefahren und am nächsten Tag neu gestartet. Thunderbird wird mit Windows automatisch gestartet und läuft den ganzen Tag. Die E-Mail-Passwörter sind im Passwortmanager von Thunderbird gespeichert. Daher kann ich zu Deiner Konstellation nichts weiter sagen.