weil manche Konten auf 2FA umgestellt wurden
Wenn Thunderbird beim Login nicht erfolgreich ist, gibt es eine Fehlermeldung. Da muss also etwas anderes Faul sein.
oder im Falle von Gmail der Speicherplatz im Google Drive überschritten ist
Das müsste doch eher dazu führen, dass Du keine Mails mehr in diesem Account empfangen kannst. Dann kann Thunderbird natürlich auch keine neuen abrufen. In der Regel sendet ein überfüllter E-Mail-Account immer eine Fehlermeldung an den Absender von E-Mails, wenn diese versuchen eine Mail an den überfüllten Account zu senden. Darin steht auf Englisch, dass das Postfach überfüllt ist. Der E-Mail-Client (also Thunderbird oder andere) kann dies nur wissen, wenn er irgendwie vom Postfach darauf aufmerksam gemacht würde. Dafür gibt es aber meines Erachtens gar keinen Standard, mit dem dies zwischen Client und Postfach kommuniziert werden könnte.