Richte auf dem neuen Laptop Dein Konto ebenfalls als IMAP-Konto ein. Dann kannst Du von beiden Rechnern auf Deine Mails zugreifen, egal ob über Thunderbird oder Outlook.
Beachte nur dass Du keine Mails in die Lokalen Ordner verschiebst, dann dann hast Du nur noch Zugriff auf diese Mail auf dem Rechner, auf dem die Mails in den Lokalen Ordnern liegen.
Siehe IMAP Erklärungen