Zu Deinem Problem Nummer 1: Das klingt sehr ungewöhnlich. Es kann zwar in seltenen Fällen Probleme mit der "Zusammenfassungsdatei" geben, dies äußert sich dann so, dass vorhandene Mails nicht angezeigt oder bereits verschobene Mails noch immer angezeigt werden. Dies lässt sich mit zwei Klicks über eine Reparatur der Datei direkt in Thunderbird beheben.
Da es bei Dir ja offenbar nach eine simplen Neustart wieder läuft, dann aber unmittelbar erneut auftritt, muss es eine andere Ursache haben.
Test doch mal, ob dieses Verhalten auf einem Smartphone/Tablet auch entsteht. Oder vielleicht noch besser, installiere Dir mal ein Mailprogramm wie "TheBat!" oder so als kostenfreie Testversion und richte das Konto dort ein.
So kannst Du dann zumindest eingrenzen, ob es wirklich Thunderbird ist, was hier verrückt spielt. Wenn Du ein komplett neues Profil angelegt hast, ist dies nämlich sehr, sehr unwahrscheinlich (wenn auch nicht unmöglich).
EDIT: Noch ein Tipp/eine Nachfrage: AntiVirus oder irgendwelche "Optimierungsprogramme" an Bord?