Allerdings bin ich davon ausgegangen, dass Thunderbird die Mails vorher runtergeladen und dadurch gesichert hat.
Beim Abruf per IMAP ist das zumindest nicht der Standard, denn IMAP kannst du dir wie eine Art Fernbedienung für den Mailserver vorstellen: es zeigt den Stand auf dem Server an und Aktionen wie Kopieren oder Verschieben sind Anweisungen an den Server, diese Aktionen dort auszuführen - lokal siehst du dann wieder den Stand auf dem Server.
Siehe auch: E-Mails von mehreren Computern aus verwalten (IMAP statt POP)
Wenn du die Mails auch lokal vorhalten willst, kannst du sie manuell oder automatisiert (mittels Filtern/Regeln) in die sog. "Lokalen Ordner" kopieren oder aber, wenn du ganz sicher jetzt und in absehbarer näherer Zukunft nur einen einzigen Mailclient nutzen willst (also auch kein Zugriff per Tablet oder Smartphone), du richtest das Konto zusätzlich nochmal als POP-Konto ein.