Hallo Dominik,
dieses Feature gibt es bislang noch nicht in Thunderbird und wahrscheinlich muss man auch noch eine Weile darauf warten, obwohl schon vor 16 Jahren ein entsprechender Verbesserungsvorschlag als Bug-Report https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=307070 gemacht wurde.
Man kann aber ein Teil des Textes der neu angekommenen Nachrichten im Tooltip anzeigen, indem man den Mauszeiger über den Posteingang führt :