Ich möchte jetzt das ganze Gewurschtel irgendwie "sauber" kriegen.
Das ist eine gute Idee.
Dazu schreibe ich dir gleich eine Nachricht per "Konversation" (du wirst per E-Mail darüber benachrichtigt, dann musst du im Forum oben die Rubrik "Konversationen" anzeigen).
Außerdem kann ich die jetzt wieder Online vorhandenen Mails nicht herunterladen.
Was sind "online vorhandene Mails"? Meinst du damit die Webmail-Seite deines Anbieters Web.de?
Vielleicht hast du nach dem Neueinrichten des web.de POP-Kontos in den Konten-Einstellungen > Server-Einstellungen das standardmäßig aktivierte Belassen der Nachrichten auf dem Server nicht manuell deaktiviert.
Trotzdem müssten die neuen Nachrichten von Thunderbird abgerufen werden.