Hallo,
die Antwort auf deine eigene Frage liegt in einer der bei der Threaderöffnung gestellten und leider von dir entfernten Fragen: Abruf per IMAP-Protokoll.
Ohne es selber probiert zu haben, lese ich hier seit Jahren immer wieder von Problemen, wenn das TB-Profil auf ein Netzlaufwerk gelegt wird. Selbst wenn es keinen konkurrierenden Zugriff von verschiedenen Installationen aus gibt, kommt es immer wieder zu Problemen.
Auch ein TB-Account, sofern Mozilla so etwas irgendwann einbauen sollte (was wegen knapper Mittel und nur weniger Entwickler aber sicher nicht so bald kommen wird), würde dies m.E. bestenfalls Kontoeinstellungen o.ä. synchronisieren und nicht etwa das ganze TB-Profil. So oder so müsstest du ggf. deine Anfrage ohnehin noch genauer ausführen, denn auch beim Firefox wird keinesfalls die Fx-Installation synchron gehalten, sondern m.W. nur die Lesezeichen.
Was du vermutlich meinst und suchst, dürfte also ein von allen zugreifenden Clients aus identischer Datenstand auf dem Mailserver sein. Hierzu wurde freundlicherweise bereits ein Text fürs Lexikon geschrieben: E-Mails von mehreren Computern aus verwalten (IMAP statt POP)
MfG
Drachen