Richte dein Konto zusätzlich als IMAP-Konto ein.
Dann lege in den sog. Lokalen Ordnern des Thunderbirds eine entsprechende Ordnerstruktur an.
Nun kannst du "portionsweise" nach und nach deine Mails aus den verschiedenen Ordnern auf dem Server in die vorbereiteten Ordner in den Lokalen Ordnern kopieren .... wie groß diese "Portionen" sein können, hängt von der geschwindigkeit der Verbindung ab. Kannst langsam vergrößeren und über Stichproben festetellen, ob es noch reibungslos klappt.
PS: 2 GB sind jetzt nicht so arg viel, aber wenn die Leitung lahm ist, kann es natürlich dauern ....