Hallo Patrick,
du hast leider nicht genauer bezeichnet, welche Benachrichtigungen dich stören.
Es gibt akustische und visuelle Benachrichtigungen, die von Thunderbird selber erzeugt werden und die in den von dir gezeigten Thunderbird-Einstellungen geregelt werden. Laut deinem screen shot ist die akustische Benachrichtigung durch Thunderbird selbst nicht aktiviert.
Daneben gibt es die akustischen und visuellen Mitteilungen, die vom Mitteilungszentrum deines Betriebssystems erzeugt werden. Vermutlich sind es letztere, die dich stören. Du kannst sie über Programme > Systemeinstellungen > Mitteilungen > Thunderbird deaktivieren.
Das Mitteilungszentrum in den Systemeinstellungen gibt es übrigens schon seit Mac OS X Mountain Lion.
Gruß
Mapenzi