Hallo,
Ich hatte dazu vom alten PC den profiles Ordner von Thunderbird kopiert und auf dem neuen eingespielt. Das hat gut geklappt.
Wenn du nur den Ordner "Profiles" vom alten auf den neuen Rechner übertragen hast, kann es eigentlich nicht klappen, es sei denn du hast auch die zugehörige Datei "profiles.ini" ebenfalls kopiert. In der steht nämlich der Name des Profils und der Pfad zum entsprechenden Profilordner.
Der Posteingang also die neuen Mails wurden heruntergeladen und sind aktuell.
Daraus könnte man schließen, dass das Konto als POP-Konto neu eingerichtet wurde und dass nur die noch auf dem Server vorhandenen inklusive der neuen Nachrichten herunter geladen wurden. Dafür spricht auch, dass der Ordner "Gesendet" nicht aktuell ist.
Da du uns aber die wichtigste Information verschweigst, nämlich welches Protokoll (POP oder IMAP ?) für das Konto (oder die Konten) bisher benutzt wurde und ob das selbe Protokoll auch auf dem neuen PC benutzt wird, kann man nur Spekulationen anstellen und keine wirksame Hilfe leisten.